아름다운 식의 고찰

안녕하세요 Amorest 입니다. 이전에 썼던 글을 옮겨오고 있는데 오일러의 공식에 관한 글이 있었습니다.

그래서, 오늘은 그 때 글을 따라 오일러의 공식을 분석해볼까 합니다.

오일러의 공식입니다. 정확히는 pi를 대입한 것이죠. 여기에 다음과 같은 변형을 취합니다.

각 변에 자연로그를 취하는 것으로 위와 같이 식을 변형시킬 수 있습니다.

여담으로, 여기서 i의 -i승과 i의 i승의 값을 구할 수 있습니다.

i의 -i승은 위에 있는 식에 루트만 씌우면 얻을 수 있죠. 이 값을 이용해서 i의 i승도 구할 수 있습니다.

다시 본론으로 돌아가서, 위에 '한편...'에 이어지는 식을 변형하면 아래와 같이 쓸 수 있습니다.

여기서, 'y = 1^x' 함수가 복소수 x의 정의역을 가진다면 y=1이 아니다라는 것을 알 수 있습니다. 실제로 일반해로 나타내면,

가 됩니다. 여기서 n=1이라고 대입해놓고, 우변을 1로 만드는 과정을 통해 1^i의 값을 구할 수 있습니다.

이런 식으로 오일러의 공식을 이용해서 실수 연산을 복소수 정의역에 맞도록 확장시킬 수 있습니다.